hukum gauss

HUKUM GAUSS 24.1 Fluks Listrik Pada gambar di bawah ini adalah sebuah medan listrik yang homogen, baik dalam besar maupun arahnya. Garis-garis medan listrik menembus permukaan segi empat dengan luas A, yang bidangnya berarah tegak lurus terhadap medan listrik tersebut. Gambar 24.1 garis-garis medan listrik yang melalui bidang seluas A yang tegak lurus terhadap medan listriknya. Pada gambar diatas menjelaskan bahwa jumlah total dari garis-garis yang menembus permukaan sebanding dengan hasil kali EA. Hasil kali dari besar medan listrik E dan luas permukaan A yang tegak lurus terhadap medan itu disebut fluks listrik ΦE (huruf Yunani capital phi): ΦE = EA (24.1) Dari satuan SI untuk E dan A, kita lihat bahwa ΦE memiliki satuan newton-meter kuadrat per couloumb (N.m2/C) Fluks listrik sebanding dengan jumlah garis medan listrik yang menembus suatu permukaan. Jika pada permukaan tidak tegak lurus terhadap medannya, fluks yang melaluinya harus lebih kecil dari yang dinyatakan oleh persamaan 24.1. hal ini dijelaskan dengan gambar 24.2. Gambar 24.2 garis-garis medan yang menunjukkan sebuah medan listrik homogeny menembus sebuah luas A pada sudut θ terhadap medan listrik. Gambar diatas menunjukkan bahwa luas permukaan A berada pada sudut θ terhadap medan listrik yang homogen. Jumlah garis yang melintasi luas A ini sama dengan jumlah yang melintasi A’, yang merupakan sebuah proyeksi dari luas A terhadap sebuah bidang yang diorientasikan tegak lurus terhadap medannya. Dari gambar 24.2 dilihat bahwa kedua luas bidang ini dihubungkan oleh A’A cos θ. Oleh karena fluks yang melalui A sama dengan fluks yang melalui A’, kita simpulkan bahwa fluks yang melalui A adalah ΦE = EA’ = EA cos θ (24.2) Pada persamaan 24.2 berlaku untuk sebuah elemen kecil dari luasnya. Dalam situasi yang lebih umum, medan listrik dapat berubah pada suatu permukaan. Perubahan medan listrik pada suatu elemen dapat diabaikan jika elemen tersebut cukup kecil. Kita dapat mendefinisikan sebuah vektor ΔAi, yang besarnya menunjukkan luas permukaan elemen ke-i dan arahnya didefinisikan tegak lurus terhadap elemen permukaan seperti pada gambar 24.3. Gambar 24.3 elemen kecil dari luas permukaan ΔAi, medan listrik membentuk sudut θi dengan vector ΔAi, yang didefinisikan sebagai normal terhadap elemen permukaan dan fluks yang melalui elemen tersebut sama dengan Ei ΔAi cos θi. Bidang listrik Ei pada lokasi dari elemen ini membentuk sudut θi dengan vektor ΔAi. Fluks listrik ΔΦE yang melalui elemen ini adalah ΔΦE = Ei ΔAi cos θi = Ei . ΔAi Dengan syarat (A.B = AB cos θ ) menjumlahkan kontribusi dari setiap elemen, sehingga didapatkan fluks total yang melalui permukaan. Jika luas dari setiap elemen mendekati nol, maka jumlah elemennya akan mendekati tak hingga dan jumlah tersebut digantikan oleh sebuah integral. Definisi umum dari fluks listrik : ΦE = (24.3) Persamaan 24.3 adalah integral permukaan, yang berarti harus dihitung pada keseluruhan permukaan yang terkait. Nilai ΦE akan bergantung pada dua hal yaitu pola medan magnet dan permukaanya. Fluks yang melalui permukaan tertutup didefinisikan sebagai sesuatu yang membagi ruang menjadi daerah dalam dan daerah luar sehingga sesuatu tidak dapat berpindah dari satu daerah ke daerah lain tanpa melintasi permukaannya. Sebagai contoh permukaan tertutup adalah permukaan sebuah bola. Gambar 42.4 Sebuah permukaan tertutup dalam sebuah medan listrik. Berdasar kesepakatan, vektor-vektor luas ΔAi adalah normal terhadap permukaan dan mengarah keluar. Fluks yang melalui sebuah elemen luas dapat bernilai positif (elemen 1), nol (elemen 2), atau negatif (elemen 3). Catatan:Perlu ditekankan bahwa definisi dasar fluks listrik adalah persamaan 24.3. penggunaan garis-garis hanyalah alat bantu sebagai visualisasi dari konsep tersebut. Pada gambar 24.4 menunjukkan pada (elemen 1), garis-garis medannya melintasi permukaan dari dalam ke luar dan θ ˂ 90o ; oleh karena itu fluks ΔΦE = Ei . ΔAi yang melalui elemen ini adalah positif. Untuk (elemen 2), garis-garis medannya menyinggung permukaan (tegak lurus terhadap vektor ΔA2); oleh karena itu θ = 90o dan fluksnya nol. Untuk (elemen 3), garis-garis medannya melintasi permukaan dari luar ke dalam, 180o > θ > 90o dan fluksnya negative karena cos θ adalah negatif. Fluks netto yang melalui permukaan tegak lurus terhadap jumlah netto dari garis-garis yang meninggalkannya. Jumlah netto adalah jumlah yang meninggalkan permukaan dikurangi jumlah yang memasuki permukaan. Jika garis yang keluar lebih banyak daripada yang masuk, maka fluks nettonya positif.dan sebaliknya. Fluks netto ΦE yang melalui permukaan tertutup dapat dituliskan ΦE = (24.4) Dimana En medan listrik yang normal terhadap permukaan. 24.2 Hukum Gauss Pada subbab ini akan mempelajari hubungan umum antara arus listrik netto yang melalui sebuah permukaan tertutup (permukaan Gauss) dan muatan yang dilingkupi oleh permukaan tersebut. Hubungan ini yang dikenal sebagai Hukum Gauss. Sebuah muatan positif q yang terletak di pusat sebuah bola berjari-jari r seperti pada gambar 24.6. Sebelumnya medan listrik di setiap titik pada permukaan bola yaitu E = keq/r2 dan garis medan listrik tegak lurus terhadap permukaannya. Gambar 24.6 Sebuah permukaan Gauss berbentuk bola dengan jari-jari r yang mengelilingi sebuah muatan titik q. Pada setiap titik permukaan, E sejajar terhadap vektor ΔAi yang mereprensentasikan elemen lokal dengan luas ΔAi, yang mengelilingi titik permukaan. Oleh karena itu, E . ΔAi = E ΔAi Dari persamaan 24.4 didapatkan fluks netto pada permukaan gauss adalah ΦE = Karena permukaan berbentuk bola maka . Jadi fluks netto yang menembus permukaan gauss adalah ΦE = Dimana , sehingga dapat dituliskan dalam bentuk ΦE = (24.5) Fluks netto yang menembus permukaan bola sebanding dengan jumlah muatan di dalamnya. Fluks tidak bergantung pada jari-jari r karena luas permukaan bola sebanding dengan r2, sedangkan medan listriknya sebanding dengan 1/r2. Oleh karena itu, dalam hasil kali luas dengan medan listrik, ketergantungan pada r saling menghilangkan. Pada gambar 24.7 beberapa permukaan tertutup yang mengelilingi sebuah muatan q. Permukaan S1 adalah bola, tetapi permukaan S2 dan S3 bukan bola. Gambar 24.7 Permukaan-permukaan yang tertutup dalam berbagai bentuk dan mengelilingi muatan q. fluks nettonya sama pada seluruh permukaan. Fluks yang menembus S1 memiliki nila . Gambar 24.7 menunjukkan bahwa jumlah garis-garis yang melalui S1¬ adalah sama dengan jumlah garis-garis yang melalui permukaan –permukaan bukan bola, S2 dan S3. Oleh karena itu, disimpulkan bahwa fluks netto yang menembus setiap permukaan tertutup yang mengelilingi sebuah muatan titik q dinyatakan oleh dan tidak bergantung pada bentuk permukaan tersebut. Pada gambar 24.8 menunjukkan sebuah muatan titik yang terletak di luar sebuah permukaan tertutup dengan bentuk sembarang. Setiap garis medan listrik yang memasuki permukaan meninggalkan permukaan tersebut di titik yang lain. Gambar 24.8 Sebuah muatan titik yang terletak di luar sebuah permukaan yang tertutup. Jumlah garis medan listrik yang memasuki permukaan sama dengan jumlah garis yang meninggalkan permukaan. Oleh karena itu disimpulkan bahwa fluks listrik netto yang menembus sebuah permukaan tertutup yang tidak mengelilingi muatan adalah nol. Kita akan membagi kasus menjadi, 1) dilihat dari banyak muatan titik dan 2) dari sebuah distribusi muatan yang kontinu. Kita akan menggunakan prinsip superposisi yang menyatakan bahwa medan listrik sehubungan dengan banyaknya muatan adalah penjumlahan vektor dari medan-medan listrik yang dihasilkan oleh muatan masing-masing. Oleh karena itu, kita dapat menuliskan fluks yang menembus setiap permukaan yang tertutup sebagai berikut. Dimana E adalah medan listrik total di setiap titik pada permukaan. Pada gambar 24.9 Permukaan S hanya mengelilingi satu muatan q ; oleh karena itu, fluks netto yang melalui S adalah . Gambar 24.9 Fluks listrik netto yang menembus permukaan tertutup bergantung muatan di dalam permukaan. Fluks yang menembus S sehubungan dengan muatan q2, q3, dan q4 di luarnya adalah nol karena setiap garis medan listrik yang memasuki S di satu titik meninggalkanya di titik yang lain. Permukaan S’ mengelilingi muatan q2 dan q3 ; maka fluks netto yang menembusnya adalah (q2 + q3) / Ɛ0. Terakhir, fluks netto yang menembus permukaan S’’ adalah nol karena tidak terdapat muatan di dalam permukaan ini. Untuk muatan q4 tidak terkontribusi terhadap fluks netto yang menembus permukaan apa pun karena ini berada di luar semua permukaan. Hukum Gauss, yang merupakan generalisasi dari yang dijelaskan menyatakan bahwa fluks netto yang melalui permukaan tertutup adalah (24.6) Dimana qdalam merupakan muatan netto di dalam permukaan, dan E medan listrik di setiap titik pada permukaan. Pada prinsipnya hukum Gauss dapat digunakan untuk mencari E dalam menentukan medan listrik sehubungan dengan suatu sistem muatan-muatan atau distribusi muatan yang kontinu. 24.3 Penerapan Hukum Gauss pada Berbagai Distribusi Muatan Hukum Gauss bermanfaat dalam menentukan medan-medan listrik ketika distribusi muatannya sangat simetris. Saat memilih permukaan, kita harus selalu mengambil keuntungan dari simetri distribusi muatan sehingga kita dapat mengeluarkan E dari integral dan memecahkannya. Tujuan perhitungan ini adalah untuk menentukan suatu permukaan yang memenuhi salah satu atau lebih dari syarat-syarat berikut. 1. Nilai medan listrik dapat diperoleh berdasarkan prinsip simetri sebagai konstan di seluruh permukaan. 2. Hasil kali dot di Persamaan 24.6 dapat dituliskan sebagai hasil kali aljabar sederhana E dA karena E dan dA adalah sejajar. 3. Hasil kali dot di Persamaan 24.6 adalah nol karena E dan dA adalah tegak lurus. 4. Medan listriknya dapat dikatakan bernilai nol di seluruh permukaan. 24.4 Konduktor dalam Keseimbangan Elektrostatistik Sebelumnya kita membahas tentang konduktor yang baik adalah yang mengandung muatan-muatan (electron-elektron) yang tidak terikat pada atom mana pun dan oleh karena itu bebas bergerak di dalam bahan. Saat tidak terdapat gerakan muatan netto di dalam konduktor, maka konduktornya berada dalam keseimbangan elektrostatik. Konduktor dalam keseimbangan elektrostataik memiliki sifat-sifat berikut : 1. Medan listriknya nol pada setiap titik di dalam konduktor. 2. Jika sebuah konduktor yang terisolasi membawa muatan, muatannya berada tetap pada permukaannya. 3. Medan listrik yang berada tepat di luar sebuah konduktor yang bermuatan adalah tegak lurus terhadap permukaan konduktor dan memiliki besar σ/Ɛ0, di mana σ adalah rapat muatan permukaan pada titik tersebut. 4. Pada sebuah konduktor dengan bentuk yang tak beraturan, rapat muatan permukaannya adalah yang terbesar di lokasi-lokasi dimana jari-jari kelengkungan permukaan adalah yang terkecil. Untuk sifat yang pertama, dengan mengamati gambar 24.16. Medan listrik di dalam konduktor harus nol, dengan asumsi bahwa terjadi keseimbangan elektrostatik. Gambar 24.16 Suatu lempeng konduktor dalam medan listrik ekternal E. Jika medannya tidak nol maka elektron-elektron di dalam konduktor akan mengalami gaya listrik (F = qE) dan menimbulkan gerak dipercepat. Gerakan elektron ini menandakan bahwa konduktor tidak berada dalam keseimbangan jadi keseimbangan elektrostatik hanya dapat terjadi dengan medan nol di dalam konduktor. Pada gambar 24.16 gerakan elektron disebelah kiri muncul karena adanya medan eksternal sehingga menghasilkan muatan negatif pada permukaan kiri. Gerakan elektron ini menghasilkan muatan positif pada permukaan sebelah kanan. Sewaktu elektron bergerak maka rapat muatan permukaan pada sebelah kiri dan kanan bertambah sampai medan internal sama dengan medan eksternal dan mengahsilkan medan nol netto di dalam konduktor. Pada gambar 24.17 memperlihatkan konduktor berbentuk sembarang. Permukaan gauss dengan permukaan konduktor dapat dibuat sedekat mungkin sesuai dengan kkeinginan kita. Gambar 24.17 Sebuah konduktor sembarang. Untuk mencapai keseimbangna elektrostatik, medan listrik di dalam konduktor harus nol di setiap titiknya. Oleh karena mungkin tidak terdapat muatan netto di dalam permukaan gauss (yang secara sembarang), setiap muatan netto pada konduktor harus tetap pada permukaannya. Jika konduktor tidak mengalami keseimbangan maka vektor medannya harus lah tegak lurus terhadap permukaannya. Seperti pada gambar 24.18, permukaan gauss digambarkan dalam bentuk tabung kecil. Gambar 24.18 Sebuah permukaan gauss dalam bentuk tabung kecil yang digunakan untuk menghitung medan listrik tepat di luar permukaan. Untuk permukaan gauss berbentuk tabung yang melengkung tidak terdapat fluks yang melalui bagian permukaan gauss ini karena E sejajar dengan permukaannya. Tidak terdapat fluks yang melalui sisi datar dari tabung di dalam konduktor karena E = 0. Fluks netto yang melalui permukaan gauss hanya melalui sisi datar di luar konduktor yang medannya tegak lurus terhadap permukaan gauss. Fluksnya adalah EA, di mana E adalah medan listrik tepat di luar konduktor dan A merupakan luas dari sisi tabung. Penerapan hukum gauss terhadap permukaan ini adalah. ΦE = Bahwa qdalam = σA. Mencari E, diperoleh medan listrik di luar konduktor bermuatan. E = (24.9) 24.5 Turunan Formal dari Hukum Gauss Salah satu cara mendapatkan Hukum Gauss adalah dengan menggunakan sudut-sudut ruang. Sudut ruang disimbolkan dengan ΔΩ yang terbentuk pada bentuk bola dan didefinisikan sebagai berikut. ΔΩ ≡ ΔΩ tidak berdimensi karena ΔA dan r2 keduanya memiliki dimensi L2. Satuan tanpa dimensi disebut steradian. Karena permukaan bola adalah 4πr2, maka sudut ruang total bola adalah Ω = steradian Pada gambar 24.22(a) muatan titik q dikelilingi oleh permukaan yang tertutup dengan bentuk sembarang. Gambar 24.22 (a) sebuah permukaan tertutup dengan bentuk sembarang mengelilingi muatan q. fluks listrik netto melalui permukaan tidak bergantung pada bentuk permukaan.(b) Elemen luas ΔA membentuk sudut ΔΩ = (ΔA cosθ)/r2 pada muatan q. Fluks listrik diperoleh dengan menghitung E∙ΔA untuk setiap elemen. Jadi Fluks yang melalui tiap elemen adalah. ΔΦE = E ∙ ΔA = (E cos θ)ΔA = Dimana r adalah jarak muatan terhadap luas. Θ adalah sudut antara E dan ΔA. Dan E = keq/r2 untuk muatan titik. Pada gambar 24.23(b) elemen luas yang tegak lurus dengan jari-jari adalah ΔA cos θ. Besaran (ΔA cos θ)/r2 sama dengan ΔΩ terhadap ΔA oleh muatan q. Untuk ΔΩ juga dapat dibentuk dari sudut ruang elemen luas permukaan bola dengan jari-jari r. Maka fluks total melalui permukaan tertutup adalah. ΦE =